関孝和の円周率の計算

関孝和（1642年頃 – 1708年）は、日本の数学者であり、円周率の計算にも貢献しました。彼の方法は、アルキメデスの多角形近似法に基づき、正多角形を用いて円周率を計算するものでした。関孝和が計算したとされる 正1024角形を用いた円周率の求め方 について、詳細な計算過程をできる限り書き出します。

1. 計算の基本原理
2. 計算の流れ
3. まとめ
4. 西洋数学との比較
5. 結論

1. 計算の基本原理

関孝和は、中国の『算経十書』や『算法統宗』の影響を受けつつ、独自に発展させた円理を用いて円周率を求めました。
これは、正六角形 → 正十二角形 → 正二十四角形 → …と倍々に増やしていく手法です。
最終的に 正1024角形（2102^{10}210角形） まで計算し、円周率を求めました。

2. 計算の流れ

円の半径を R=1R = 1R=1 とすると、正 nnn 角形の 半弦（半径に対する1辺の長さ） を求め、それをもとに円周率を推定します。

まず、初期値（正六角形） から始めます。

(1) 正6角形

正6角形の1辺 a6a_6a6 は、円の半径 RRR に対して以下のように求められます。a6=Ra_6 = Ra6=R

半周長は 3R3R3R なので、π6=3.000000\pi_6 = 3.000000π6=3.000000

(2) 正12角形

正12角形の1辺 a12a_{12}a12 は、三角形の定理を用いて求めます。a12=2−3a_{12} = \sqrt{2 – \sqrt{3}}a12=2−3

計算すると、a12=0.517638a_{12} = 0.517638a12=0.517638

これを用いて、円周率を推定すると、π12=3.105829\pi_{12} = 3.105829π12=3.105829

(3) 正24角形

a24=2−4−a122a_{24} = \sqrt{2 – \sqrt{4 – a_{12}^2}}a24=2−4−a122 a24=2−4−0.5176382a_{24} = \sqrt{2 – \sqrt{4 – 0.517638^2}}a24=2−4−0.5176382 =0.261052= 0.261052=0.261052

円周率の推定値：π24=3.132629\pi_{24} = 3.132629π24=3.132629

(4) 正48角形

a48=2−4−a242a_{48} = \sqrt{2 – \sqrt{4 – a_{24}^2}}a48=2−4−a242 =0.130806= 0.130806=0.130806 π48=3.13935\pi_{48} = 3.13935π48=3.13935

(5) 正96角形

a96=2−4−a482a_{96} = \sqrt{2 – \sqrt{4 – a_{48}^2}}a96=2−4−a482 =0.065438= 0.065438=0.065438 π96=3.14103\pi_{96} = 3.14103π96=3.14103

(6) 正192角形

a192=2−4−a962a_{192} = \sqrt{2 – \sqrt{4 – a_{96}^2}}a192=2−4−a962 =0.032723= 0.032723=0.032723 π192=3.14151\pi_{192} = 3.14151π192=3.14151

(7) 正384角形

a384=2−4−a1922a_{384} = \sqrt{2 – \sqrt{4 – a_{192}^2}}a384=2−4−a1922 =0.016362= 0.016362=0.016362 π384=3.14158\pi_{384} = 3.14158π384=3.14158

(8) 正768角形

a768=2−4−a3842a_{768} = \sqrt{2 – \sqrt{4 – a_{384}^2}}a768=2−4−a3842 =0.008181= 0.008181=0.008181 π768=3.14159\pi_{768} = 3.14159π768=3.14159

(9) 正1024角形

a1024=2−4−a7682a_{1024} = \sqrt{2 – \sqrt{4 – a_{768}^2}}a1024=2−4−a7682 =0.004091= 0.004091=0.004091 π1024=3.141592648\pi_{1024} = 3.141592648π1024=3.141592648

3. まとめ

関孝和の計算により、正1024角形を用いた円周率の推定値はπ≈3.141592648\pi \approx 3.141592648π≈3.141592648

となり、小数点以下9桁までの精度で求められました。これは、当時の世界的な円周率の近似値の中でも非常に高精度なものであり、ヨーロッパの数学者にも匹敵する成果でした。

4. 西洋数学との比較

関孝和の方法は**アルキメデスの方法（内接・外接多角形による近似）をさらに発展させたものですが、
ヨーロッパではこの時代に無限級数展開（ライプニッツ級数やマクローリン展開）**を用いたπの計算が主流でした。
そのため、西洋数学と比べると理論的な発展はやや遅れましたが、実用的な計算精度の面では世界最先端でした。